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Herleitung der Fibonacci-Formel

Vorbemerkungen
Für die Herleitung der Formel wird ein Hilfsmittel benutzt, wie es in der Mathematik häufig der Fall ist. Dazu wird die Originalfunktion aus dem Originalbereich (Zeitbereich) zunächst in den Bildbereich transformiert, dort mit einfacheren Hilfsmitteln bearbeitet und danach wieder zurück in den Originalbereich transformiert.
Hier soll die z-Transformation benutzt werden, deren Grundlagen, beginnend mit der Laplace-Taransformation, kurz erläutert werden.
Die Laplace-Transformation ist ein sehr gut geeignetes Hilfsmittel zur Lösung von Differentialgleichungen.
Mit ihr wird einer Zeitfunktion f(t) bei der sogenannten einseitigen Laplace-Transformation mittels des Laplace-Integrals


eine komplexe Frequenzfunktion zugewiesen.
Die Laplace-Transformierte von Ableitungen kann wie folgt bestimmt werden:


Oder allgemein


Wichtig ist noch der Verschiebungssatz einer nach rechts "verschobenen" Zeitfunktion.


Mittels Laplace-Transformation wird aus einer Differentation im Originalbereich eine Multiplikation im Bildbereich.
Zur Rücktransformation in den Originalbereich kann u.a. die folgende sogenannte Residuenformel angewendet werden:


Hierin ist n die Ordnung der Polstelle bei p=p
ν.

Liegt jetzt keine kontinuierliche Funktion f(t) vor, sondern eine Folge [xn], dann kann zur Transformation die diskrete Laplace-Transformation (L*) mit der Beziehung


angewendet werden.
Wird in dieser Formel epT=z gesetzt, so kommt man zur sogenannten z-Transformation, die wir in unserem Fall anwenden werden.
Für die z-Transformation ergeben sich folgende Transformations- und Rücktransformations-Regeln:




In diesem Fall ist p die Ordnung der Polstelle bei z=zk.

Für die Lösung unseres Problems ist noch der Verschiebungssatz wichtig.
Es gilt


Damit wurden in extremer Kürze die Grundlagen für die Bestimmung der Fibonacci-Formel dargestellt.
So wie die Lapalce-Transformation für die Lösung von Differentialgleichungen geeignet ist, so kann die z-Transformation zur Lösung von Differenzengleichungen verwendet werden.



Herleitung der Formel

Wie bereits dargestellt, lautet das Bildungsgesetz für die Fibonacci-Zahlen


mit den Anfangsbedingungen

Damit der rechtsseitige Verschiebungssatz angewendet werden kann, der die Anfangsbedingungen berücksichtigt, wird die Formel etwas umgestaltet, und es wird die Variable x verwendet.
So folgt


Mit Anwendung der z-Transformation folgt daraus



Aus der letzten Gleichung folgt


Jetzt erfolgt die Rücktransformation mittels der Residuenformel.
Da z1 und z2 einfache Polstellen sind, gilt für beide Fälle p=1.







 
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